تولید اشکال فراکتالی
اشکال فراکتالی معمولا به کمک توابع بازگشتی تولید می شوند.
مثلا تابع بازگشتی f(n) = f(n) 2+c یا f(n) = f(n) * f(n) + c یک تابع فراکتال است. این معادله به خصوص یک فراکتال معروف، موسوم به مجموعه جولیا را تشکیل می دهد. در این معادله c یک عدد مختلط (شامل یک عدد موهومی) است که می تواند هر مقداری باشد و نتیجه آن یک مجموعه جولیای متفاوت باشد. n به جای مختصات نقطه قرار می گیرد این موضوع را در نظر داشته باشید زیرا به زودی به آن باز می گردیم. این مختصات ویژه هستند زیرا همان طور که حدس زدید اعداد موهومی را در بر می گیرند. هنگامی که این مختصات (x,y) هستند، در هندسه فراکتال به صورت X + iY نشان داده می شوند. به عبارت دیگر، X مقداری ثابت و Y یک عدد موهومی است. از مختصات (X + iY) به جای n استفاده می کنیم. حالا می پرسید که این تابع چه طور نمودارهای بزرگ فراکتال را می سازد. در این صورت نتیجه یک تابع به جای اینکه یک خط شود، تنها یک نقطه را نمایش می دهد. که اگر ما به تعریف یک نقطه نگاه کنیم، می تواند بی نهایت کوچک باشد، که بیان می کند چه طور می توان یک قسمت از یک فراکتال را بزرگ کرده و به فراکتال جدید کاملی برسیم. نقطه در مختصات n قرار دارد. البته فراکتالها بسیار رنگارنگ هستند. حالا این رنگ ها چه طور انتخاب می شوند؟ مثل هر چیز دیگر، نسبتا ساده است. ابتدا لازم است که یک نقطه را رنگ کنید، بیایید نقطه (2+1i) را در نظر بگیریم. برای مقدار c از (1+1i) استفاده می کنیم. به خاطر آورید که C می تواند هر عدد مختلطی باشد. حال این را در معادله قرار می دهیم.
f(n) = f(2+1i) = (2+1i)(2+1i) + (1+1i) = 2 * 2 + 2i + i2 + 1 + 1i = 5 + 5i – 1 = 4 + 5i (i2=-1)
الف) روی نمودار قرار نمی گیرد (مثال: در یک نمودار 10*10 مولفه های جدیدی که به دست می آیند (97 ، 234-) هستند.)
ب) هرگز نمودار را ترک نمی کند ( این قانون بعد از 200 بار تکرار، اگر نقطه باز هم روی نمودار باشد، صادق است.)
نحوه انتخاب رنگ به این صورت است که اگر نقطه بعد از یکبار تکرار نمودار را ترک کند، همان رنگ را دارد. تمام نقاطی که بعد از 2 تکرار نمودار را ترک می کنند، با یک رنگ مشخص نشان داده می شوند و هر نقطه ای که نمودار را هرگز ترک نکند با رنگ متمایز معمولا سیاه علامت گذاری می شود. بعد از انجام این فرایند، برای تمام نقاط داخل این صفحه، نتیجه ای نظیر این مجموعه جولیا می شود.
تابع f(x) = f(x-1) 2+c فراکتال دیگری را موسوم به مجموعه مندلبرات می سازد.
در بسیاری از حالات، 200 تکرار لازم است تا تنها یک نقطه تعیین شود. در اغلب کامپیوترها، معمولا تعداد نقاط برای یک فراکتال 200 ، 303 تاست. به همین دلیل است که برای محاسبه عملیات زیاد و دقت انجام آنها به کامپیوتر نیاز داریم. فراکتالها تصویری از یک زندگی واقعی دارند. کامپیوترها می توانند یک شکل واقعی را بگیرند و با انجام تکرار زیاد به آن شکل تخیلی بدهند. این روزها از فراکتال ها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند. این ها مختصات جدید ما هستند. به یاد آورید که اگر یک مجموعه از مختصات را در یک تابع قرار دهید، نتیجه یک مجموعه جدید از مختصات است. 4 + 5i مجموعه مختصات جدید است. هنوز کار تمام نشده است،
عمل بالا یک تکرار را نشان می دهد.
نظرات شما عزیزان: